みんなの講座



変なタイトルですよね？（毎度のことだけど）

若い方は知らないかも知れませんが、
村上龍さんのデビュー作は「限りなく透明に近いブルー」。
日本を代表する大作家のデビュー作をもじるなんて
恥知らずだよな〜とも思いましたが、
今回のテーマを表現するにはピッタリだったんです。
村上龍さんのファンの人、許してくださいね。

あ、ちょうど作家の話が出たついでに宣伝しちゃいますと、
ボクの従姉（いとこ）がミステリー作家の渡辺容子なんですわ。
売れない時代を乗り越え、
とうとうがんばって江戸川乱歩賞を取っちゃった。
親戚ながらアッパレでしたね。
今度本屋さんに行ったら、この人か〜って調べてみてください。
買ってあげてくれちゃったら嬉しいけど、そこまでお願いできないかな。
まぁ、いつか思い出したらヨロシクです。


で、今回は体積を求める問題なんですが、
高さが見えにくいため、
体積を求めるのは結構手こずるのではないかと思います。
もちろん高さを調べる方法があるのですが、
解き方を知らない人にとって、
これほど透明に感じられる高さはないでしょう。

まず問題の前に公式を確認しておきます。

角すいや円すいの体積＝底面積×高さ÷３

ちなみに、この公式の÷３の部分は、
算数の範囲で説明することが非常に困難です。
高校で習う積分を使えば説明できますけど、
さすがにここでは積分の説明まではできないので、
上の公式はアタリマエの知識　日本一長い川は信濃川みたいな;^^)
として納得しておいてください。
※塾の教室では、同じ高さの角柱・円柱と比較を行います。
　 角すい・円すいには、角柱・円柱の３分の１の量しか水が入らないことを実験で示し、
　 公式の説明に代えています。


では問題です。

下の図のように、１辺の長さ12の正方形の台紙から、 底辺12、高さ３の合同な二等辺三角形を 正方形の各辺に沿って４枚切り落とし、 残った部分を組み立てて正四角すいを作ります。 この正四角すいの体積を求めなさい。 （注）正四角すいの底面は正方形

展開図から体積を求めるなんて、なんか不思議な問題でしょう？
ではさっそく解説を始めましょう。

出来上がった正四角すいは下の図のようになります。

まず、底面積を求めましょう。
底面積は問題の図から求められます。
底面は正方形で、その対角線の長さは 12−３×２＝12−６＝６

正方形の面積＝対角線×対角線÷２より、
※これはひし形の公式ですが、正方形は一種のひし形だから、
　ひし形の公式が使えます。

６×６÷２＝18　←　底面積
これで底面積が18と求まりました。

そしていよいよ高さを考えることになります。
高さは上の見取り図に示したＡＯです。(Ｏは正方形の中心）

じつは、見取り図内の直角三角形ＡＢＯと合同な三角形が、
問題の展開図の中に存在しているのです。

下の図を見てください。
左側は、台紙から切り取った二等辺三角形のうちの１枚です。
その二等辺三角形をちょうど半分に切った直角三角形（右側の図）が、
上の見取り図内の直角三角形ＡＢＯと合同な図形になっています。

〔合同になる理由〕
　パソコンの画面を上げ下げして、
　見取り図と下の図で、直角三角形ＡＢＯの辺の長さを比べてみてください。

　見取り図のＢＯ＝３　←　底面の正方形の対角線の長さは６。ＢＯはその半分。
　下の図のＢＯ＝３　←　切り取った二等辺三角形の高さは問題の条件から３。

　見取り図のＡＢと下の図のＡＢは同じ長さ　←　展開図を組み立てたことから当たり前

　直角三角形は、一番長い辺（斜辺）を含めた２つの辺の長さが等しければ
　必ず合同になります。

　　　　　　　　

ということは、（え？わかりましたか？　えらいっ！）
正四角すいの高さ（ＡＯ）は、
正方形の１辺の長さのちょうど半分であることがわかります。

12÷２＝６ → 正四角すいの高さ

角すいの体積の公式は底面積×高さ÷３ですから、
求める正四角すいの体積は、

18×６÷３＝36　→　答え


正四角すい内の直角三角形ＡＢＯが、
初めに台紙から切り取った二等辺三角形のちょうど半分になっている。
このことが高さを求めるためのポイントでした。
消化不良はいけません。納得できるまで、しっかり読み直してくださいね。
ではまた第９講でお会いしましょう！