みんなの 講座
ボクが算数を愛する理由の一つに、例外が少ないという理由があります。
解答がビシッと男らしく決まるので気持ちがいい。 え？あなたも同感？ (^o^)
例外が少ないと書いたから、気になった人がいるでしょうか。
例がナイと考えていた人もいるかな？
う～ん ・・・（さんじゅつまん考慮中）・・・
やっぱり算数にも例外はあるよね。
だから、ナイとまでは書けませんけど、少ないという意味でも算数はダントツで、
カールルイス（古＾＾）が子供たちと走っているくらいぶっちぎっていて、
これは他の科目にはまったく歯が立たない算数独特の個性といえるでしょう。
国語～漢字や知識など答えのはっきりした部分もあるけれど、
読解問題の記述式や作文など、受験生の解答は例外だらけでしょう。
採点難しいだろうな～。不公平とか出ないのかな。
いつだかテレビ番組で、有名な作家が自分の書いた文章の
読解問題を解いて、あまりイイ点数ではなかった話を覚えています。
国語の解答って、作者の思惑をも超えることがあるらしい。
は～ぁ ボクには絶対国語の先生できません;^^)
がんばれ～ 全国の国語の先生！
理科～算数の持つ正確性に加え、非常に多くの例外が組み込まれた
難科目です。おしべやめしべの数が植物によって変わったり、
化学式は算数なんだけど、式が正しきゃ反応するってもんでもない。
電気は＋から－へ流れ、電子は－から＋に流れる???
宇宙にしても、人体にしても、目に見えない概念のオンパレード。
は～ぁ ボクには絶対理科の先生できません;^^)
がんばれ～ 全国の理科の先生！
社会～タイムマシンの操縦士さん的な歴史。
年々新しいデータが発売される新製品の展示会が地理。
大人社会のルールを子供に伝授しちゃうおませな公民。
３つ別々でも大変なのに、いっぺんにまとめて１科目で教えるなんて、
こりゃまた神業です。
ボクの経験だけど、４科目で一番人間的な厚みを感じるのは
社会の先生だよね。オールマイティーな絵が描ける人って感じ。
は～ぁ ボクには絶対社会の先生できません;^^)
がんばれ～ 全国の社会の先生！
と、他科目の先生たちにエールを送ったところで、話を算数に戻します。
答えは必ず ビシッ
と決まるんだけど、しかしその ビシッ までの
飛行機に乗るか、船に乗るか、車で行くかみたいな選択がとても楽しくて、
最終目的地は同じでも、途中の景色がいろいろと楽しめちゃう。
算数はそんな魅力的な科目だよね。
算数ってホントにいいもんですね;^^)
↑これも古いねえ。算数の箇所を映画に変えると、今は亡き名映画評論家の
淀川長治さんのライフワード。小森のおばちゃまも尊敬していたスゴ～イ人！
あ～あ～あ～ トシがばれるよ。（ってもうばれてるかも知れないね）
こんな前置きとともに、今回ボクが選んだテーマは規則性。
例外は100％絶対にありませんよ。
万が一例外があったら、それ規則性じゃなくなるから…。
ではさっそくいってみましょう。
Ｔｈｉｓ ｉｓ 例外なき規則の宝庫、数表の問題でございます。
＜数表の問題 今回は初級かな＞
下の図のように、奇数をあるきまりにしたがって並べました。
（１）上から８段目の左端の数を求めてください。
（２）中央に数があるのは、どのような段ですか？
また、上から49段目の中央の数はいくつですか？
（３）上から100段目の数は、いくつからいくつの奇数が並んでいて、
また、その和はいくつですか？
１
３ ５
７ ９ 11
13
15 17 19
・・・・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・・・・・・・
|
解説
（１）各段の左端の数だけを、抜き出すと次のような数列になります。
① ② ③
④ ・・・
１ ３ ７ 13 ・・・
∧ ∧ ∧
２ ４ ６ ・・・
薄いブルーで表示した○の数は、この数列につけた各項の番号で、
ピンクで表示した数は、数列の各項間の差です。
各項間の差は２ ４ ６ ・・・という、順に増加していく偶数になっています。
いま求めたいのは⑧ですが、①から⑧へ至るには、間に７つのピンク数字が
あるはずです。※植木算→間隔の数は木の本数より１少ない
ピンク数字は単純な偶数（２の倍数）の並びですから、
２ ４ ６ ・・・ ７つ目は２×７＝14です。
よって、⑧＝１＋（２＋４＋６＋・・・＋14） ←（ ）の前の１は①の１です
←７つの連続偶数→
ここで、２＋４＋６＋・・・＋14の計算に、
等差数列の和の公式（コラム下の囲み参照）を用います。
２＋４＋６＋・・・＋14＝（２＋14）×７÷２＝56
したがって、 ⑧＝１＋（２＋４＋６＋・・・＋14）＝１＋56＝57 ← （１）の答え
（２）上の段から、各段に並ぶ数の個数は、
１個、２個、３個、４個、…
のように１個ずつ増加しています。
すると、上から奇数段目の段には、奇数個の数が並び、
上から偶数段目の段には、偶数個の数が並ぶことがわかります。
（並んでいる数の個数は段数と同じ）
上から49段目には49個（奇数個）の数が並びます。
その左端の数は、（１）とまったく同様に、
49段目の左端の数＝１＋（２＋４＋６＋・・・＋96）
←48個の連続偶数→
＝１＋｛（２＋96）×48÷２｝＝１＋2352＝2353
2353 2355 2357 2359 ・・・ ←49段目の数の並び
49個の数の中央は25番目なので、
↑（49＋１）÷２＝25 奇数個の数の中央は、左から（個数＋１）÷２番目
左端の2353に２を24個（植木算 25－１）加えた数が、49段目の25番目、
すなわち、49段目の中央の数です。
49段目の中央の数＝2353＋２×24＝2353＋48＝2401
（２）の解答を整理します。
中央に数があるのは上から奇数番目の段で、
上から49段目の中央の数は 2401 です。
また、補足ですが、数が偶数個並ぶとき、中央の数は存在しません。
数が奇数個並ぶときだけ、中央の数が存在します。
（３）上から100段目。だいぶ数値が大きくなっています。
このように規則性の問題では、すべてを書き上げて答えることを防止して、
問題の後半では、設定の数値を大きくする傾向があります。
すべて書き上げて答えるのでは、純粋な算数とは言えなくなります。
いつだかの講座で書いた 根性算
になってしまいますね。
数値が大きくなっても、数値が小さいときと同じように落ち着いて
処理できるようにしてください。
上から100段目には100個（偶数個）の数が並びます。
その左端の数は、（１）や（２）と同じように、
100段目の左端の数＝１＋（２＋４＋６＋・・・＋198）
←99個の連続偶数→
＝１＋｛（２＋198）×99÷２｝＝１＋9900＝9901
9901 9903 9905 9907 ・・・ ←100段目の数の並び
100段目には100個の数があるので、
左端の9901に２を99個（植木算 100－１）加えた数が、100段目の右端、
すなわち、100段目の最後の数です。
100段目の右端（最後）の数＝9901＋２×99＝9901＋198＝10099
よって、100段目には 9901から10099までの奇数が並んでいて、
それらすべての数の和は、
等差数列の和の公式（コラム下の囲み参照）より、
（9901＋10099）×100÷２＝20000×100÷２＝1000000 ←（３）の答え
［別の方針で迫ろう！ いわゆる別解］
（１）・（２）
各段の左端、各段の中央など、特定の位置にある奇数を求めるとき、
その数が全体として何番目の奇数か？と考える手もあるでしょう。
たとえば８段目の左端の数は、それより前に
１＋２＋３＋・・・＋７＝28個の奇数があるはずですから、
28＋１＝29番目の奇数とわかります。
全体として29番目の奇数は 29×２－１＝57 ですね。
49段目の中央の数は、全体として
（１＋２＋３＋・・・＋48）＋25＝1176＋25＝1201番目の奇数です。
よって、1201×２－１より、2401とわかります。
（３）
※この解説は少し難しいので、読む前に、コラム下の公式を確認してください。
100段目の数の合計は、１～100段すべての奇数の和から、
その上にある１～99段すべての奇数の和を引くという手もあるでしょう。
１～100段すべての奇数の和は、下の囲みの一番下に書いた
「奇数列」の和の公式が使えます。
100段目の最後の奇数は、初めからの総トータルでは
１＋２＋３＋・・・＋100＝（１＋100）×100÷２＝5050番目の奇数です。
１から5050番目までの奇数をすべてたした和は 5050×5050
同様に、99段目の最後の奇数は、初めからの総トータルでは
１＋２＋３＋・・・＋99＝（１＋99）×99÷２＝4950番目の奇数です。
１から4950番目までの奇数をすべてたした和は 4950×4950
よって、100段目の数の合計は、
5050×5050－4950×4950
正直に計算してもよいですが、ちょっとしんどいので、
下の図のような工夫により、この式の計算結果は1000000となります。
[5050×5050－4950×4950の計算の工夫]
5050×5050は、１辺の長さが5050の正方形の面積です。
4950×4950は、１辺の長さが4950の正方形の面積です。
よって、5050×5050－4950×4950の答えは、上の図の赤い線で
囲んだ部分の面積となります。
4950×100×２＋100×100＝990000＋100000＝1000000
<今回の規則性問題で使った公式集>
等差数列のＮ番目の数＝初めの数＋公差×（Ｎ－１）
等差数列→各項間の差が一定の数列のこと
公差→等差数列の各項間の差のこと
ｅｘ．４ ７ 10 13 16 ・・・・・
この等差数列の50番目の数なら、初めの数が４、公差３より、
４＋３×（50－１）＝４＋147＝151
等差数列のＮ番目の数<その2> こっちの方がボクは好き^^
初めの数＞公差
のとき 公差×Ｎ＋（公差と初めの数の差）
初めの数＜公差
のとき 公差×Ｎ－（公差と初めの数の差）
等差数列の和＝（初めの数＋終わりの数）×個数÷２
ｅｘ．４＋７＋10＋13＋16＋19＋22＋25
初めの数は４、終わりの数は25、個数は８個
これらの和は、（４＋25）×８÷２＝116
※もちろん、初めの数から途中Ｎ番目の数までの和なら、（初めの数＋Ｎ番目の数）×Ｎ÷２
Ｎ個の数が並ぶ数列の中央の数は、左（右）から（Ｎ＋１）÷２（番目）
※ただし、Ｎが奇数個のとき。Ｎが偶数個のときは、中央の数は存在しないので。
奇数列（１、３、５、７、９、・・・のように、１から順に奇数が並ぶ数列）で
Ｎ番目の奇数＝２×Ｎ－１
奇数列（１、３、５、７、９、・・・のように、１から順に奇数が並ぶ数列）で
初めの奇数１からＮ番目の奇数までの和＝Ｎ×Ｎ 偶数列では成り立たないので注意！
ｅｘ．１ ３ ５ ７ ９ ・・・・・
この奇数列の５番目までの和は、５×５＝25
100番目までの和なら100×100＝10000 ♪ちなみに100番目の奇数は199
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今回は、「規則星（性）へのご招待」と題して、数表の問題を扱ってみました。
きっと、ボクが書いた解説以外にも、グッドアイディアがあるだろうと思います。
どうか、おシャレな解法をどんどん発見してみてください。
ただし、独りよがりのわがまま解法にならないよう、注意してくださいね。
規則性問題の大変なところは、短時間で解答をチェックすることが
難しいところなんです。（検算ほぼ不可能）
時間がたくさんあれば、全部書いたりして調べられますけど、
短い時間では無理です。
だから、方針を立てる段階で慎重さが求められるし、上に紹介したような公式も
使えるときは積極的に使って、時間短縮してほしいと思います。
またそのうち続編として同じテーマで書きますね。
少しレベルを上げようかな。
ではみなさん、次回第69講で、また元気に算数いたしましょう。ｂｙｅ
ｂｙｅ！
え？最初に書いてあった算数の例外が気になるって？
０で割る計算（５÷０など）に答えがナイとか、算数では４－９とかもできないし、
方陣算で、周囲のご石の数が１つ内側で８個減る（・・・32→24→16→８→１）
なんてやつで、「最後だけ７減って１になる」とかね。
ま、たまにゃ～例外もあるさ;^^)
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