みんなの講座

次の図５・図６の立方体について、与えられた３点を含む平面で切断したとき、 切り口はどのような図形になりますか？

まず図５から解説しますが、図５のためにレジュメ４が登場します。

レジュメ４
立方体の平行な面に切り口の平行線を引くときは、
相似形を考え、切り口の通過点を算出する



上の図が、図５の解答図です。
まず、レジュメ１の定跡通り、ＡとＰ、ＡとＱを連結させます。
当然ＰとＱは連結できない（反則参照）ので、
レジュメ２より、右側の正方形ＣＧＨＤに、ＡＰの平行線、
手前の正方形ＢＦＧＣに、ＡＱの平行線を引くことになります。

上の図では、手前と奥の正方形に、１辺の長さを３とした場合の
数値が記入してありますが、
手前の正方形ＢＦＧＣに、Ｐを通るＡＱの平行線ＰＲを引くとき、
△ＡＱＤと△ＲＰＦは相似になるので、ＡＤ：ＤＱ＝ＲＦ：ＦＰ＝３：２

いま、ＦＰの長さは１ですから、ＲＦ：１＝３：２
よって、ＲＦ＝1.5と計算できます。
1.5は３の半分ですから、ＲはＦＧの中点であることがわかります。
ＡＰの平行線ＱＳを引くときのＳの位置もまったく同様です。

このことから、立方体の切り口がＲ、Ｓを通過していることがわかり、
Ｒ、Ｓは立方体の同じ側面上の２点なので、
レジュメ１により連結できます。

図５の切り口が判明しました。
図５の立方体の切り口は、ＡＰ＝ＡＱ、ＰＲ＝ＱＳで、
さらにＡＰとＱＳ、ＡＱとＰＲが平行になっているような、
左右対称な貝殻（かいがら）型の五角形です。
※特に固有の名称はないので、試験では単に五角形と答えてよいです^^


次に図６を解説しますが、図６を解くためにレジュメ５が登場します。

レジュメ５
与えられた図の中だけで切り口の作図ができないときは、
与えられた立方体の辺を延長し、側面を広げて考えてよい



問題で与えられた３点は、Ｐ、Ｑ、Ｒです。
レジュメ１より、ＰとＱをストレートにつなぐことができますが、
その後は、次のような方針で進めます。

ＰＱを両側に延長し、ＣＢの延長との交点をＸ、ＣＤの延長との交点をＹとします。
（延長した立方体の辺は赤、切り口の辺は薄いブルーで示してあります）

すると、切り口の１辺であるＰＱがＸＹまで延びたことになり、
Ｘは立方体の手前の側面ＢＦＧＣ上の点ですから、
（正確には立方体の手前の側面ＢＦＧＣを広げた面上の点）
ＸとＲは同一平面内の２点となり、レジュメ１により連結することができます。

ＸとＲをつなぐ直線は、ちょうどＢＦの中点を通過し、
ＣＧの延長上に到達します。（Ｚ）

切り口の通過点が、立方体の各辺の中点になることは、
図の中の各所にある三角形（たとえば△ＡＰＱ、△ＢＰＸ ｅｔｃ）が
すべて合同な直角二等辺三角形（45°定規）であることから確認してください。

ここまで進めば、あとはもう簡単です。
大いに立方体の左右対称性(*)を利用しましょう。
立方体は、対角線ＡＣ（面ＡＥＧＣ）を境にして左右対称ですから、
その対称性を考えれば、点Ｙの周りでも点Ｘの周りと同じ作図ができますし、
対角線ＣＦ（面ＣＤＥＦ）を境に対称と見れば、点Ｚの周りでも同じ作図ができます。

<補足>立方体の左右対称性(*)について
ある面を対称に左右対称な立体を、面対称な立体といいます。
厳密には、面対称という用語は算数には出てきませんが、
細かい用語の定義は別にしても、「図６の立体が面ＡＥＧＣを境界に左右対称である」ことは、
ぜひとも利用していただきたい大切な事柄です。左にＸ、右にＹの左右対称です。
左をＸ、右をＺの左右対称とみるなら、境界はどの面ですか？
また、左をＺ、右をＹの左右対称とみるなら、境界はどの面ですか？（解答はコラムの最後）


少し後半の解説を急ぎましたが、図６の切り口が判明しました。
図６の立方体の切り口は、すべての辺の長さが等しい正六角形です。

この正六角形が、立方体を２つのまったく合同な立体に切り分けている
ことはすごく有名です。
そう、切り口の正六角形の前後にある立体は、同じ立体になるんですね。

＜解答整理＞
図５　ＡＰ＝ＡＱ、ＰＲ＝ＱＳ
　　　 さらにＡＰとＱＳ、ＡＱとＰＲが平行になっている五角形（貝殻型）
図６　正六角形


いかがでしたか？
前回よりは複雑な切り口でしたが、貝殻型の五角形や正六角形。
なんかすごく美しい切り口でしょう？　見とれちゃいますよね。
中学や高校の数学では、これらの切り口の面積を求めたりする勉強もしますが、
算数ではルート（√）が使えないので、そこまで踏み込んだ勉強はできませんけど、
どのような切り口になるかを答えさせる問題は、いろいろな学校で出題されて
いますから、どんな３点が与えられても、しっかり切り口が書けるように、
ご家族やお友だちで、いろいろな３点を与え合って練習してみてくださいね。

では最後に、立方体の切り口として入試によく出る図形を挙げておきましょう。
作図とは逆に、どのような３点が与えられたときに、そのような切り口になるか？
それを考えてみるのも勉強になると思います。

［入試によく出る立方体の切り口図形］
三角形・・・二等辺三角形、正三角形
四角形・・・正方形、長方形、平行四辺形、ひし形、（等脚）台形
多角形・・・貝殻型五角形、正六角形
※これ以外にも、一般の（普通の）三角形〜六角形は切り口として可能。
　ありそうでないのは正五角形。また、七角形以上の多角形は不可能。

それではまた楽しくてためになる次回の算数物語で
みなさんにお目にかかりたいと思います。どうぞそれまでお元気で！

<補足の問題>
面ＣＤＥＦを境界にして、左にＸ、右にＺの左右対称です。（Ｘ、Ｚの左右は便宜上）
面ＣＢＥＨを境界にして、左にＺ、右にＹの左右対称です。（Ｚ、Ｙの左右は便宜上）