みんなの講座

では、さっそくまいりましょう。今回は、こんな問題です。

下の図のような長方形の辺の上を、点Ｐは辺ＡＤ上を、点Ｑは辺ＢＣ上を それぞれきまった速さで往復しています。 また、２点Ｐ、Ｑを結ぶ直線の左側の図形をＳとします。 点Ｐが点Ａを、点Ｑが点Ｂを同時に出発し、点Ｑが一往復する間の 図形Ｓの面積は下のグラフのようになりました。 （１）点Ｐと点Ｑの速さの比を求めなさい。 （２）15秒後の図形Ｓの面積は36cm2でした。 　　 長方形ＡＢＣＤの面積を求めなさい。 （３）図形Ｓが長方形となるのは何秒後ですか。 　　 すべて求めなさい。

問題の状況は飲み込めましたか？
長方形の上の辺をＰが動き、下の辺をＱが動きます。
ＰとＱは同時に出発しますが、速さが違うので、線分ＰＱが斜めになるように
ＰとＱの位置がズレていきます。
そしてそのときに、線分ＰＱの左側にできる図形がＳで、
その面積がグラフで与えられているわけです。

では、これからボクがみなさんに素朴な質問をしますので
ちょっと考えてみてください。

<素朴な質問>
ＰとＱってどっちが速いんですか？ また、それはどうしてですか？



































<素朴な質問／答え>
速いのはＰです。
しかし、その理由は問題図でＰがＱより右に書いてあるからではありませんよ。
ＰとＱは頂点に到達すると折り返しますから、もしかすると、Ｑが一度Ｃに到達し、
折り返して戻ってきたあとの図かも知れません。
算数の問題では、理由もないのに図だけで大切な判断をしてはいけません。
では、Ｐの方が速い本当の理由は？

問題文をよく読んでください。
上のグラフはＱが一往復する間のグラフと書いてあります。
つまり、Ｑは一往復に30秒かかっている。すると片道が15秒ですから、
その前の10秒のときに、グラフが変化しているのはなぜか？ と考える。
そうそう、10秒のときにＰがＤに到着したからグラフが変化するんですね。
片道10秒のＰと、片道15秒のＱ。当然Ｐの方が速いわけです。

そしてこのことで、（１）の答えがわかります。

（１）
片道という等しい距離を、Ｐは10秒、Ｑは15秒かかるので、
（速さの比）は（時間の比）の逆だから、
Ｐの速さ：Ｑの速さ＝15：10＝３：２　←　（１）の答え


このような問題にあたる場合、実際に出題される設問は限られていますが、
その設問だけを解いて満足してはいけません。たとえ設問になくても、
いろいろなことを考えてみるのが、とても勉強になるのです。

たとえばボクが出題者だったら、
線分ＰＱによって左右に分けられる２つの図形の面積が
等しくなるのは何秒後ですか？
こんな設問を作るかも知れませんよ。
難しい学校なら、もっと手ごわい設問を用意することでしょう。
このタイプの問題は、条件を決めてしまうと設問がたくさん作れるんです。
それがこのような問題のなくならない理由の１つでしょうし、
だからこそみなさんも、そのとき与えられた設問だけをクリアーして、
それだけで満足していたらいけないのですね。

さて、上のグラフの変化点に、ア〜エのカタカナをつけてみました。
それぞれの箇所で何が起こったか、整理し直してみましょう。

◇グラフのアで起きたこと（10秒後） 　点Ｐが点Ｄに到着しました。 　点ＱはＢＣ上のＢから2/3の地点でＣに向かっています。 　（速さの比３：２が利用できます） 　　 ◇グラフのイで起きたこと（15秒後） 　点Ｑが点Ｃに到着しました。 　点Ｐはすでに折り返し、ＤＡ上の中間点でＡに向かっています。

ここまで考えると、問題（２）の答え、
さらに問題（３）の答えの１回目が出せます。

（２）
問題の条件に、15秒後のＳの面積が36cm² とあります。
15秒後のＳの面積は、上の２つめの図に示したように長方形ＡＢＣＤの3/4だから
（斜線で1/4ずつに区切ってあります）
長方形ＡＢＣＤ＝36÷3/4＝48cm²　←　（２）の答え

（３）
図形Ｓが長方形になるのは、Ｐの真下にＱがくるときです。
そのような状態になる１回目が、アとイの間にあります。
10秒後にＰがＤを折り返すと、ＰとＱは向き合って進むことになり、
10秒後のＰ、Ｑの隔（へだ）たりを<１>とすれば、
Ｐの速さ：Ｑの速さ＝３：２より、
Ｐが<3/5>、Ｑが<2/5>の距離を進んだところで、
ＰとＱが出会う（Ｐの真下にＱがくる）はずです。
Ｑは<１>の距離を進むのに５秒（10秒後〜15秒後）かかりますから、
<2/5>の距離を進むには２秒かかり、
このことから、Ｐの真下にＱがくるのは、
10＋２＝12（秒後） とわかります。　←　（３）の答え／１回目

◇グラフのウで起きたこと（20秒後） 　点Ｐが点Ａに到着しました。この後、２回目の往復を始めます。 　「一往復で終わり」とは問題の条件にない！注意してください。 　点Ｑはすでに折り返しを終え、ＣＢ上の1/3の地点で 　Ｂに向かっています。 　　 ◇グラフのエで起きたこと（30秒後） 　点Ｑが点Ｂに到着しました。 　ここでグラフは終了しています。 　点Ｐは２度目のＤ地点に到着しています。

ウとエの間に、（３）の答えの２回目があります。
20秒後にＰがＡを折り返すと、ＰとＱは再び向き合って進むことになり、
20秒後のＰ、Ｑの隔（へだ）たりを［１］とすれば、Ｐの速さ：Ｑの速さ＝３：２より、
Ｐが［3/5］、Ｑが［2/5］の距離を進んだところで、Ｐの真下にＱがくるはずです。
Ｑは［１］の距離を進むのに10秒（20秒後〜30秒後）かかりますから、
［2/5］の距離を進むには４秒かかり、
このことから、Ｐの真下にＱがくるのは、
20＋４＝24（秒後） とわかります。　←　（３）の答え／２回目


以上で、問題はすべて解決しました。
あまり突っ込んだ設問もなかったので、ラッキーだったかも知れません。
ちなみに今回の問題は、東京都／吉祥女子中学の入試問題でした。
吉祥女子は、偏差値が高いわりに、とても素直で親切な問題の多い学校なので、
ここで使った問題も例外ではなかったようです。
しかし、意地悪な学校なら、もっと解きにくい設問をたたきつけてくるはず！
途中にも書きましたが、もともとの設問にないことでも、自分で新しい設問を
作ってみたりして、考えれば考えるほど勉強になると思いますよ。

それでは今回はこのへんで！　また次回の講座でお会いしましょう。