みんなの講座



しばらく45講座で止まっていました。休みすぎました。ごめんなさい。

ようやくお待たせ第46講座です。
ひとたび書き始めるとしばらく続く人なので、
このままダダダダダ〜っと10講座くらい進むかもです。
ときどきチェックしにいらしてくださいね。


さて今回のテーマは数え上げのテクニック。
みなさんの家に国語辞典ありますよね？
ええ、言葉の意味を調べるときに使うあの国語辞典です。

さっそく話が脱線しちゃいますけど、国語辞典を書く人ってすごいと思いませんか？
あれって、何千、何万という言葉をほとんど網羅してのせているわけですが、
どうやってその膨大な量の言葉を忘れずにチェックしていくのでしょう？
僕は辞書をみるたびに不思議で不思議で仕方ありません。
今の時代ならパソコンとかを使って何とかなりそうですが、
辞書が初めて生まれた時代にパソコンなんかあったはずないし…。
たくさん紙に書いて、どんどん言葉をためていったのでしょうか？
う〜ん、辞書の謎は深しです。


もとい。本題に戻ります。

え〜と、その国語辞典で言葉の出てくる順番はご存知ですよね？

そうです。
あ・い・う・え・お・か・き・く・け・こ・さ・し・す……の五十音順です。
まず、単語の一番上のひらがなが五十音順。
それが同じときは二番目のひらがなが五十音順です。
以下、二番目も同じなら三番目、三番目も同じなら四番目が五十音順です。
それがどうしたかって？
今回の算数のテーマにそのことが大いに関係あるのです。
先に問題を出してしまいましょう。　たとえばこんな問題です。

※また完全に脱線ネタ
　 ちよのちゃんは、ボクの小学校時代の同級生 ○○ちよのさんから拝借しました。
　 実は彼女、フジテレビ「オールナイトフジ」の初代オールナイターズの一員。
　 元アイドルです。ある日突然ブラウン管に現れた彼女を?年ぶりに見てしまい、
　 驚きのあまり数ｍ飛び上がってしまった懐かしい想い出があります。
　 さすがにもう芸能界にはいらっしゃらないでしょうが元気にしてるのかなあ？
　 インターネットの威力に期待して、こんな脱線ネタ数行を残しておきます。
　 ご本人がご覧になる確率何％あるかな…;^^)

分野としては「場合の数」に属する問題です。
この問題のちょっとやっかいな点は、
一発の計算で求めることが難しいというところです。
一発の計算が無理ならば、いろいろなパターンを地道に列挙していくのが、
こうした問題への対処法ですが、
人間とは実にそそっかしい生き物でして、何の法則もなく列挙しようとすると、
偶然うまくいかない限り、モレや重複が生じてしまうものです。

そこで列挙の仕方に「ある一定の脈絡を持たせよう！」
というのが今回の講座のキーワードです。

まず辞書的順序（じしょてきじゅんじょ）という言葉を覚えておいてください。
辞書的順序とは、算数の「場合の数」でパターンを列挙するときに、
国語辞典と同じように列挙する方法のことです。
次のお約束を読んでください。

＜辞書的順序の算数的お約束＞

　辞書の「あ・い・う・え・お・・・」に相当するのは
　数字の「１・２・３・４・５・・・」

パターンを列挙する過程で数字を出すときは、
上の優先順位にしたがって数字を出してください。
１が出せるときは絶対に１を出す。１が出せなくなったら２を出す。
２が出せなくなったら３を出す。・・・

国語辞典において、「う」より「い」が優先され、
「い」より「あ」が優先されるのとまったく同じ要領です。
算数の「１」は国語の「あ」。算数の「２」は国語の「い」。
算数の「３」は国語の「う」。　そんな感じです。


では上のちよのちゃん問題を解いてみます。

「１段上る」「２段上る」「３段上る」のいずれかの方法で
７段の階段を上る方法を調べることは、
「１」「２」「３」の数字をいろいろ組み合わせて合計７を作るということです。

合計７になる「１」「２」「３」の組合せ。これを辞書的順序で調べてみます。
くどくなりますが、合計７を作る際、最も優先する数字は「１」です。
なるべく「１」を優先することを考え、どうしても無理になったら「２」を使ってください。
そして「１」も「２」も使えないときに「３」を使うことを考えましょう。

ではスタート！

パターンＡ　１−１−１−１−１−１−１（１だけを使って７にできました）

パターンＢ　１−１−１−１−１−２（１を５回使い、残りを２にしました）

パターンＣ　１−１−１−１−３（１を４回使い、残りを３にしました）

パターンＤ　１−１−１−２−２（１を３回使い、残りの４を２−２に分けました）

パターンＥ　１−１−２−３（１を２回使い、残りの５を２−３に分けました）

え〜と途中で補足しますが、この時点では辞書的順序によって、
合計７になる数字の組合せだけを検討しています。
もちろん１−１−１−２−１−１のように、
パターンＢと順番だけが異なるものを考える必要はありません。
第一、１−１−１−２−１−１では辞書的順序に逆らっていますよね。
（１より前に２を出してしまっている）
１−１−１−２−１−１のような数字の順番が違うものについては、
辞書的順序で組合せのパターンを調べてから最後に考えるのが上手な解法です。

では組合せパターンの続きです。

パターンＦ　１−２−２−２（１を１回使い、残りの６を２−２−２に分けました）

パターンＧ　１−３−３（１を１回使い、残りの６を３−３に分けました）

パターンＨ　２−２−３（始めに２を２回使い、残りを３にしました）

組合せのパターンはこれら８種類で網羅されました。
辞書的順序で整理しながら書き上げたので、これでモレや重複はないはずです。
組合せを網羅するための辞書的順序。感覚をつかんでいただけたでしょうか？

さて、問題の解答ということになりますと、
さきほど途中で補足したように、８種類の組合せパターンについて、
それぞれ数字の並びかえが何通りあるか？を考えなくてはなりません。
（たとえば２−２−３と３−２−２は違う上り方ですから）

次のようになります。

パターンＡ　１通り
すべて同じ数字なので並びかえはありません

パターンＢ　６通り
６つの数字のうち１つだけが２だから、２の置かれる場所は６通り
具体的には１１１１１２／１１１１２１／１１１２１１／
１１２１１１／１２１１１１／２１１１１１の６通り

パターンＣ　５通り
Ｂと同じ考え方

パターンＤ　10通り
２つの２に注目します。
５つの数字の位置を□□□□□と考えて、
この５つの□から、２の置かれる２つの□を選ぶので５Ｃ２＝10通り
※組合せＣの計算方法は第14講座をご覧ください

パターンＥ　12通り
４つの数字の位置を□□□□と考えて、
２の置かれる場所が４通り、
そのそれぞれについて３の置かれる場所が３通り。
よって４×３＝12通り

パターンＦ　４通り
Ｂと同じ考え方　具体的には１２２２／２１２２／２２１２／２２２１の４通り

パターンＧ　３通り
Ｂと同じ考え方　具体的には１３３／１３１／３１１の３通り

パターンＨ　３通り
Ｂと同じ考え方　具体的には２２３／２３２／３２２の３通り

これらを合計して、ちよのさんが階段を上る方法の総数は、
１＋６＋５＋10＋12＋４＋３＋３＝44（通り）


最後にまとめておきます。
このタイプの問題では、まず辞書的順序で組合せのパターンだけを調べ
その後でそれぞれのパターンの並びかえを考えてください。
もちろん第２作業の並びかえの検討も大事ですが、
それ以前の第１作業でモレや重複のないようにうまく組合せを見つけなくては
元も子もないですからね。
組合せを網羅していく辞書的順序。忘れないでください。

なかなかいい問題でしたね。
それではまた次回の講座で元気にお目にかかりましょう！