みんなの講座



今回は図形の問題なんですが、大別して次の２つの解法があります。

解法１　補助線を引いて解く

解法２　一発公式（メネラウスの定理）で解く

時間の短縮を考えれば断然２の解法でしょうけど、
理屈もわからない公式をむやみに使うのもよくありません。
（理屈のわかる人はいいけど）
算数の範囲でも、がんばればメネラウスの定理を説明することはできますが、
今回は図形の問題に強くなる意味で、
何としても解法１の補助線をマスターしてほしいです。
この補助線、なかなかスッと引ける人、少ないんですよ。
中高生や大人の人でも案外マゴマゴしちゃう人が多そう。
さっき試してみたら、ボクの大人の友達、全員マゴマゴしてました;^^)

これが今回の問題です。

下の図において、ＡＤ：ＤＢ＝３：４、ＢＣ：ＣＥ＝５：２のとき、 ＡＦ：ＦＣを求めなさい。

早速やってみましょう。最初は解法１。

＜解法１　補助線を引く＞
※分数は1/2のように色つきで表記します。分子/分母です。
　 紙に図や式を書き込みながらお読みください。

ＤＥに平行で、Ｃを通るような補助線ＧＣを引きます。　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↑この補助線がなかなか気づきにくい

図形の補助線というと、どうしても頂点と頂点をつなぎたくなるのが人情。
だから、Ｃを通るＤＥの平行線という発想は、
なかなか思いつかない人が多いんです。



しかしこの補助線が引けますと、問題はグッと楽になり、答えに近づきます。

ＤＥ〃ＧＣだから、ＢＣ：ＣＥ＝ＢＧ：ＧＤ＝５：２

<老婆心> 今の説明、大丈夫でしたか？ 三角形内に底辺の平行線を引いたとき、 次のような性質があります。 ＥＦ〃ＢＣのとき、ＡＥ：ＥＢ＝ＡＦ：ＦＣ

では問題に戻ります。

ＢＧ：ＧＤ＝５：２だから、ＤＧはＤＢの2/7倍。

ＡＦ：ＦＣ（？のところ）は、ＡＤ：ＤＧと等しいから、
ＡＦ：ＦＣを求めるのは、ＡＤ：ＤＧを求めるのと同じことです。

ＡＤ：ＤＧ＝３：（４×2/7）
＝３：8/7＝21/7：8/7＝21：８　←　ＡＦ：ＦＣもこれと同じ（つまりこれが答え）

この補助線を引く解法。
なんとかマスターして使えるようになってほしいです。
解説は、そんなに長くなかったけど（工夫して書いてるんですよ〜）
短い説明の中に重要な図形の知識がいくつか隠れていて、
きっと、この１問をマスターしただけで、
もしも図形に将棋とか囲碁みたいに段位があるなら、
二、三段の実力アップ間違いなしです。
え？　まだわからないって？
焦る必要ないから、時間をかけてゆっくり理解してくださいね。


さて。
ここから先は入試の迫る小６ｏｒ中３の受験生向け。
今の解法１だと時間がもったいないので、
「メネラウスの定理を使っちゃおう！」というのも
時間短縮という有効な答案戦略です。
だから一応やっとくけど、図形の段位を上げたい初級者の人は、
安易にコレに頼ったらダメですよ（笑）。

＜解法２　メネラウスの定理＞

下の図において、イ/ア×エ/ウ×カ/オ＝１（メネラウスの定理）が成立します。



メネラウスの定理に問題の数値をあてはめると、
2/7×エ/ウ×4/3＝１より、8/21×エ/ウ＝１
よって、エ：ウ（ＡＦ：ＦＣ）＝21：８　←　答え

まあ、この定理を知ってればアッという間なんだけど、
意味のわからない定理を振り回しても、決して図形の段位は上がらないでしょう。
もし使うなら、きちんと公式の根拠を知ってから使う方が、
のちのちの実力アップにつながると思いますよ。　
今回はここまでにしますが、いつか機会があったら
メネラウスの根拠についてもこの講座で取り上げたいと思います。