みんなの講座



今回の講座では、現役の中学受験生より、
むしろ卒業した中高生から多い質問を取り上げます。
タイトルの意味は、お読みいただくうちに、きっとご理解いただけると思います。

今回は前置きが短かかったね。さっそく本題です。

算数にしては珍しく、初めに２つの英単語を紹介します。

Ｐｅｒｍｕｔａｔｉｏｎ

Ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ

１つめは「パーミュテーション」と読み、２つめは「コンビネーション」です。
１つめは聞き慣れないかも知れませんが、２つめは日本語でもよく使います。
コンビネーションサラダ、コンビネーションプレー、そうそう、そうです。

日本語に訳すと、１つめが順列（じゅんれつ）、２つめが組合せ。
実は、この２つの英単語の頭文字が数学記号として正式に使われているのです。
中学や高校で習った人も多いでしょうね。
中学受験の塾でも教えるところは多いんじゃないかな。
英単語の頭文字くらい、小学生でも難しくありませんからね。

では１つずつ意味と使い方を解説します。
よく似ていますから、しっかり区別できるように勉強してくださいね。



＜記念撮影はＰｅｒｍｕｔａｔｉｏｎ（順列）＞

上のように、「しろにゃんこ堂（後注参照）」の４人（単位おかしい？）のにゃんこがいます。
色が違うので、みんな別人（別猫？）です。

４人のにゃんこから３人のにゃんこを並べる順列です。

式は４Ｐ３と書きます。　←　全部の数Ｐ並べる数

計算は、４からスタートして、１ずつ減らしながら３つの数をかけてください。
４Ｐ３＝４×３×２＝24（通り）　となります。

少し計算の意味を補足しましょう。
○□△のように並んだ写真ができあがるとすれば、
○に並べるにゃんこが４通り、□に並べるにゃんこは○の１人が減って３通り、
△に並べるにゃんこは、さらに□の１人が減って２通り、
だから全部で４×３×２＝24（通り） となるわけです。
ここには書きませんが、樹形図（枝分かれの図）を書いてみると、
もっとはっきり理解できると思います。

（重要）ＮＰＲの計算
異なるＮ人（個）のなかから Ｒ人（個）を並べる順列の総数は、
Ｎからスタートして、１ずつ減らしながらＲ個の数をかければよい


＜掃除当番はＣｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ（組合せ）＞

記念撮影のときとは大きな違いがあります。
それは掃除当番を選ぶ場合、並べる順番に意味がないという点です。

具体的には上のネコの例で、
「白ネコ−黒ネコ−紫ネコ」 と「紫ネコ−白ネコ−黒ネコ」の２通りは、
記念撮影の並び方としては区別する必要がありますが、
掃除当番の選び方としては区別することには意味がありません。

このように選ぶことだけが目的で、
並べる順番までは考える必要のない場合が組合せです。

式は４Ｃ３と書きます。　←　全部の数Ｃ選ぶ数

計算は、（ＣをＰにかえて計算した積）を、
（Ｃの後ろの数を１ずつ減らして１までかけた積）で割ります。
４Ｃ３＝（４Ｐ３）÷（３×２×１）＝24÷６＝4（通り）

※右のように分数を使うと約分が使えて楽！　 ４×３×２
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ３×２×１

さて、４Ｃ３の分母で計算した ３×２×１＝６ は、
３人のにゃんこをヨコ１列に並べる順列になっています。
つまり、分子の４Ｐ３で求めた24通りのうち、
選び方としては区別されないものが６通りずつ重複しているので、
割り算して重複を消したということです。

※６通りの重複例
「黒ネコ−白ネコ−紫ネコ」　「黒ネコ−紫ネコ−白ネコ」　「白ネコ−黒ネコ−紫ネコ」
「白ネコ−紫ネコ−黒ネコ」　「紫ネコ−黒ネコ−白ネコ」　「紫ネコ−白ネコ−黒ネコ」

（重要）ＮＣＲの計算
異なるＮ人（個）のなかからＲ人（個）を選ぶ組合せの総数は、
（Ｎからスタートして１ずつ減らしながらＲ個の数をかけた積）を
（Ｒから１ずつ減らして１までかけた積）でわればよい


みなさん、順列Ｐと組合せＣの違いと計算方法がおわかりいただけたでしょうか？
実はこの「場合の数」の分野はすごく奥が深く、中学や高校になると、
気が遠くなるような難問もいっぱいあります。
このあたりはまだまだ入り口ですが、基礎としてはすごく重要な知識です。
これはボクの口癖ですが、１の跳び箱の上に３の跳び箱は乗りません。
無理に乗せたとしても不安定でグラグラです。
算数の勉強は、間（あいだ）を抜かさないようにしっかり積み上げていかないと、
あとになって必ず崩れてしまいます。基本こそ、ていねいに勉強してくださいね。

では、最後にもう一度リピートして第14講を閉じることにします。

Ｐ　順列　　 並べることが目的（選ぶだけではない）

Ｃ　組合せ　選ぶこと目的（並べる順番は考えない）


Ｓｐｅｓｉａｌ　Ｔｈａｎｋｓ！
このページのにゃんこたちは、しろにゃんこさんが運営する素材ショップ「しろにゃんこ堂」から
お借りしていました。６年以上相互リンクさせていただいておりましたが、最近になってショップを
閉鎖なさったようです。悲しい月日の流れを感じてしまいますが、しろにゃんこさんの作品を
このページでいつまでも大事にしようと思います。（2008晩夏　さんじゅつまん）