みんなの講座



「・・・・・となる場合は何通りありますか？」

算数でも数学でもよく見かける問題です。
算数では場合の数というジャンルに分類されていますが、
場合の数の問題は、大別して２通りのパターンがあります。

１つは、決まった計算式で簡単に答えが得られるもの・・・（A）

もう１つは、場合分けという作業が必要になるもの・・・（Ｂ）　です。

やはり、（Ｂ）のパターンが苦手な人が多いようですね。
では、それぞれ簡単な例を示してみましょう。

　　上位の位から考えると、
　　千の位→４通り
　　百の位→３通り（千の位で使った１枚が減るから）
　　十の位→２通り（さらに百の位で使った１枚が減るから）
　　一の位→１通り（さらに十の位で使った１枚が減るから）
　　よって、４×３×２×１＝24（通り） ←　答え

　　このように一度の計算で答えが出せます。
　　場合の数の積の法則などと言いますが、そんな名前はどうでもよいので、
　　このかけ算の感覚を大切にしてください。

　　（Ａ）の問題とはアプローチが違います。
　　０が含まれていることと、偶数という条件があるからです。
　　このように、いくつかの特別な条件のある問題では、
　　一度の計算で答えを出すことができません。
　　次のような場合分けが必要となります。

　　偶数ですから、一の位は０または２です。
　　その２つのパターンに場合分けします。

　　〈一の位が０の偶数　□□□０〉
　　　上位の位から考えて、
　　　千の位→３通り（一の位に固定された０を除くから）
　　　百の位→２通り（千の位で使った１枚が減るから）
　　　十の位→１通り
　　　３×２×１＝６（通り）　←　一の位が０の偶数は６通り

　　〈一の位が２の偶数　□□□２〉
　　　上位の位から考えて、
　　　千の位→２通り（一の位に固定された２を除き、千の位には０が使えない）
　　　百の位→２通り
　　　（千の位で使った１枚が減るが、今度は０が使えるから千の位と同じ２通り）
　　　十の位→１通り（百の位で使った１枚が減るから）
　　　２×２×１＝４（通り）　←　一の位が２の偶数は４通り

　　これら２つのパターンを合計し、
　　４けたの偶数は全部で　６＋４＝10（通り）　←　答え
　　※場合分けをしたときは、それぞれの結果を加えて最終的な答えとする。この感覚を忘れずに！


では次に今回のメイン問題です。

下の図は、先週ロシアから独立した新国家「サスーン」の 国旗ですが、ア〜エにぬる色がまだ決まっていません。 使える色は赤・青・黄色・緑の４色ですが、必ずしも４色を すべて使う必要はありません。（すべて使ってもよい） この国旗の色のぬり分け方は全部で何通りありますか？ ただし、となり合う区画に同じ色をぬることはできないもの とします。

この問題は、場合分けの感覚を身につけるために最適な問題です。
場合の数にすっかり慣れている人なら、
頭の中の計算だけで押し切ることもできそうですが、
ここではしっかりていねいに紙に書いて確認しながら、
場合分けの感覚を養ってほしいと思います。

問題の条件に「４色すべてを使う必要はない」とあります。
つまり、４色をすべて使ってもいいが、３色で済ませてもいいということです。
２色では不可能ですから、４色か３色です。
ならば４色使う場合と３色使う場合に場合分けするのがごく自然です。
やってみましょう。

〈ケース１〉４色でぬり分ける

これは簡単です。
さきほどの数字並べの問題と同じように、
アにぬる色・・・４通り
イにぬる色・・・３通り（アにぬった１色が減るから）
ウにぬる色・・・２通り（さらにイにぬった１色が減るから）
エにぬる色・・・１通り
よって、４色でぬり分ける方法は４×３×２×１＝24（通り）

〈ケース２〉３色でぬり分ける方法

３色の場合は、必然的にイとエが同じ色となります。
（それ以外の区画はすべてとなり合っているから同じ色にできない）

アにぬる色・・・３通り
イ（エ）にぬる色・・・２通り（アにぬった１色が減るから）
ウにぬる色 ・・・１通り
３×２×１＝６（通り）　←★

さらに３色の場合、ぬるために用いる色の選び方も考慮する必要があります。
色の選び方は次の４通りです。
（赤青黄）（赤青緑）（赤黄緑）（青黄緑）　＊１参照

よって、３色でぬり分ける方法は、さきほどの６通り（★）に、
色の選び方を考慮して、
６×４＝24（通り）　←　３色でぬりわける方法は24通り

これらのことから、サスーン国の国旗をぬり分ける方法は、
〈ケース１〉の24通り、〈ケース２〉の24通りを加えて、
24＋24＝48（通り）となります。


どうですか？場合分けの感覚をつかんでいただけましたか？
今回の講座はこれで終わりますが、
また別の機会にも場合分け問題を取り上げてみたいと思います。

え？今の問題を一発の計算で済ませる方法があるって？
鋭（するど）いね〜。だまってたのに。。。
確かに４×３×２×２＝48とやれば一発で終わりなんだよね。
でも最後の×２の意味、ちゃんと言えるかな？
単純に２倍してる×２じゃないよ。
アが４通り、イが３通り、ウが２通りで、
最後のエは、残っている１色かイに使った色の２通り。
そのことがちゃんと理解できている人なら４×３×２×２でもいいよね。

でもさ、この場合はこう、そしてこの場合はこう、と場合分けしながら
最後に求めていったパターン数を合計する。
これがレベルの高い場合の数の問題に立ち向かう王道なんだよ。
きちんと意味がわかっている場合を除き、安易に計算で済ませようしてくださいね。
もちろん意味がわかっているときは積極的に計算で済ませていいですけどね。
そうした見極めのしっかりできる人を目指してくださいね。
それじゃ〜また次回までごきげんよう！

＊１／ ４色から３色を選ぶことは、選ばない１色を決めるのと同じこと。だから当然４通り。