みんなの講座



今回は、約数の個数について考えてみることにしましょう。

ご存知かと思いますが、まず約数のおさらいから。
約数とは、ある整数を、整数の範囲で割りきれる数のことです。
具体的に書いたほうがわかりやすいでしょう。

８の約数　 １　２　４　８

30の約数　１　２　３　５　６　10　15　30

こんな感じです。８には４個の約数があり、30には８個の約数があります。

では、さっそく次の問題です。

１　２　３　４　５　６　８　・・・・・

かなりいっぱいありそうですよ。
根気よく書き上げていってもいつかはわかりそうですが、チョット疲れますね。

え？　２つずつ組にして求めていく？　なるほどなるほど…。
小さい方から １　２　３　４・・・ と求めるのと同時に
大きい方からも 720　360　240　180・・・と求めていく。

（１　720）（２　360）（３　240）（４　180）・・・
積が720になるように、大小のセットで求めていく。なかなか名案です。
確かにこの方法だと労力が半分くらいで済みますが、
それでもやっぱり、かなりの注意深さと辛抱強さが必要でしょう。
途中で何かを抜かしてしまう可能性も高いですよね。


そこで今回のテーマ。
なんとか約数の個数を計算で求められないだろうか？

できたら嬉しいですよね。ワクワク。
はい。もちろんできるんです。

ではやり方を解説しますから、じっくりゆっくり読んでください。

手順１　約数の個数を求めたい整数を素因数分解します。
　　　　　素因数分解とは、素数の積の形で表すことです。
　　　　　※素数→１とその数自身以外に約数を持たない数　（ただし、１は素数ではない）

　　　　　720＝（２×２×２×２）×（３×３）×（５）

手順２　その結果について、素数の個数を種類別に数えます。

　　　　　２→４個　　３→２個　　５→１個

手順３　個数にそれぞれ１を加えます。

　　　　　４＋１＝５　　２＋１＝３　　１＋１＝２

手順４　それらをかけ算します。

　　　　　５×３×２＝30（個）　←これが720の約数の個数です

合っているのかどうか、根気よく確かめをしてみます。

（１　720）　（２　360）　（３　240）　（４　180）　（５　144）　（６　120）　（８　90）　（９　80）
（10　72）　（12　60）　（15　48）　（16　45）　（18　40）　（20　36）　（24　30）

数えてみてください。確かに30個ありますよ。


では今紹介した方法の理屈も解説しておきます。

約数とは、素因数分解したときに現れる素数（720を組み立てている部品）を、
いろいろなバリエーションでかけ算して作ることができます。

たとえば720は、２が４個、３が２個、５が１個という部品からできているわけですが、
その一部（または全部）を使ってかけ算を行うと、
（２×２）×３＝12　（２×２×２）×５＝40　のように720の約数を作ることができるわけです。
つまり、２、３、５という素数（部品）を使って、別の積になるかけ算のパターンが何通りあるか？
そのパターン数が約数の個数ということになります。

そこで、それぞれの素数（部品）の使い方のバリエーションを考えると、

２という素数（部品）は　４個使う　３個使う　２個使う　１個使う　０個使う　→５通り

３という素数（部品）は　２個使う　１個使う　０個使う　→３通り

５という素数（部品）は　１個使う　０個使う　→２通り

ここで少しだけ場合の数の知識が必要になりますが、
２の使い方が５通り、３の使い方が３通り、５の使い方が２通りありますから、
これらを組み合わせてできるかけ算のパターンは　５×３×２＝30（通り）
だから720の約数は30個となるわけです。

あ、ボクが書こうとする前に気づいた人がいるみたいですね〜。
そう、手順３で＋１をしたのは、その素数（部品）の使い方に、
０個使う（使わない）という使い方があるからですね。


どうですか？　今回の講座、理解してもらえましたか？
この話をさらに広げると、約数マトリックスなんていう楽しい図形の話も
あるんですけどね。まぁそれはまたいつか、ということで！